2007年7月 河南省安阳县第四高级中学 程全新 * 等差数列前n项求和公式的推导及应用 德育目标：通过学习本节课的内容，了解科学知识在实际生活的应用的价值，并由此产生对科学价值观的追求。         知识目标：通过本小节教学，要使学生掌握等差数列前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的问题。  情感目标：通过对公式的推导和应用，激发学生对科学的情感，从而树立科学的学习精神。 重        点：等差数列前n项和公式的推导及应用。 难        点：发现等差数列前n项和公式的推导的思路。 本节关键：通过具体例子发现一般规律。  教学过程： 一、复习导课    1、等差数列的定义，等差数列的通项公式          an=a1+(n-1)d      , a n=dn+(a1 –d)     a n-1=a1+(n-2)d          a1= an - (n-1)d  ，a2=an-(n-2)d.  ……     2 、am- an =(m-n)d.          3 、数列｛ａｎ｝是等差数列，  若ｍ、ｎ、ｐ、ｑ　都是正整数，且ｍ+ｎ＝ｐ+ｑ．则 　　ａｍ＋ａｎ＝ａｐ＋ａｑ． 二 、正课     1、设sn =1+2+3+……+100    高斯的算法是： 首项与末项的和：                1+100=101， 第2项与倒数第2项的和：    2+99=101 第3项与倒数第3项的和：    3+98=101      · · · · · · 第50项与倒数第50项的和：50+51=101 故sn=101×100/2=5050. 2 、设等差数列的前n项和为sn ，即  sn =a1+a2+a3+…+ an  根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成   sn =a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+（n-1)d]  再把项的次序倒过来，又可以写成   sn=an+an-1+an-2+…a3+a2+a1   =an+(an-d)+（an-2d)+…+[an-(n-1)d]  把两式的两边分别相加，得   2 sn =(a1+an)+ (a1+an)+ (a1+an)+…+ (a1+an)    由此得到等差数列的前项和的公式 　sn = n(a1+an)/2      [这种求和方法叫倒序求和法]          这就是说，等差数列的前项和等于首末两项的和与项数乘积 的一半。    又因为   an =a1+(n-1)d 所以上面的公式又可以写成       sn =na1+n(n-1)d/2 以上的两个公式中共有5个量，a1,an,n,d,sn我们可以做到知三求二，它们分别适用于不同类型的题目。即若已知 a1，an ， n, 则 d = （an -a1）/（n-1）,                         sn = n(a1+an)/2                             （1）  a1, n, d,       则 an =a1+(n-1)d，                         sn =na1+n(n-1)d/2                        （2）  例1   某长跑运动员7天里每天的训练量（单位:m)是：  这位长跑运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，其中 a1 = 7500 ,   a7 =  10500。根据等差数列前n项和公式，得 s7 =7×(7500+10500)/2  =  63000 答：这位长跑运动员7天共跑了63000米 例2   等差数列-10，-6，-2，2，……前多少项的和是54? 解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是sn，则 10500 10000 9500 9000 8500 8000 7500 a1=-10,d=-6-(-10)=4.设sn=54，根据等差数列前n 项和公式，sn =na1+n(n-1)d/2代入得         54= -10n+n(n-1)/2 ×4 整理，得n2-6n-27=0 解得， n1=9,n2= -3(舍去) 因此，等差数列-10，-6，-2，……前9项之和是54.  *